Що таке **квадратична функція**, її графік та властивості
**Квадратична функція** — це поліцентрична функція, яка має загальний вигляд: y = ax² + bx + c, де a, b і c — це коефіцієнти, а x — змінна. Квадратична функція є однією з основних понять алгебри, і її графік — парабола — має безліч цікавих властивостей і застосувань в різних областях науки і техніки.
Графік **квадратичної функції**
Графік **квадратичної функції** завжди має форму параболи. Парабола може бути вернений вгору або вниз, в залежності від знака коефіцієнта a. Якщо a > 0, то парабола буде вернена вгору, а якщо a < 0 — то вниз. Вершина параболи є її найвищою або найнижчою точкою, залежно від напрямку відкриття.
Крім вершини, важливими елементами графіка є координати точок перетворення з віссю y (коли x = 0) та x (коли y = 0). Ці точки допомагають визначити, де парабола перетинає осі координат.
Властивості **квадратичної функції**
**Квадратична функція** має кілька ключових властивостей, які допомагають її аналізувати:
- Симетрія: Графік **квадратичної функції** симетричний щодо вертикальної прямої, яка проходить через вершину параболи. Ця пряма називається віссю симетрії.
- Вершина параболи: Вершина параболи визначається формулою x = -b/(2a). Підставивши значення x у **квадратичну функцію**, можна знайти відповідне значення y.
- Корені:** Корені (або нулі) **квадратичної функції** — це значення x, при яких y = 0. Вони можуть бути знайдені за допомогою дискримінанта D = b² — 4ac. Якщо D > 0, функція має два різних корені, якщо D = 0 — один, а якщо D < 0 — коренів немає.
- Параметри: Зміна значень коефіцієнтів a, b та c впливає на форму та положення графіка. Наприклад, зміна a контролює «ширину» параболи: якщо |a| велике, то парабола буде вузькою, а при малих значеннях — широкою.
- Фасетності:** У графіків **квадратичних функцій** можна спостерігати феномен фасетності, коли вигляд графіка значно змінюється з незначними коливаннями параметрів.
Приклади **квадратичних функцій**
Розглянемо приклади кількох **квадратичних функцій**:
1. y = 2x² + 3x — 5
Для цієї функції a = 2, b = 3, c = -5. Вершина графіка розташована в точці x = -3/(2*2) = -0.75. Відповідно, підставляючи значення у функцію, можна знайти y.
2. y = -x² + 4x + 1
Тут a = -1, b = 4, c = 1. Вершина графіка відкритий вниз, а корені можна знайти, обчисливши дискримінант D.
Застосування **квадратичної функції**
**Квадратична функція** широко використовується в багатьох сферах: від фізики до економіки. У фізиці вона може описувати траєкторії тіл, що падають або рухаються по параболічним шляхам. В економіці її використовують для моделювання витрат і доходів, а також для оптимізації виробництва.
Таким чином, **квадратична функція** є важливим математичним інструментом, який має численні властивості і застосування. Зрозуміти її особливості і вміти працювати з графіками допоможе не лише в навчанні, а й у повсякденному житті та професійній діяльності.
